Ø PENGERTIAN UMUM
Definisi : Kemungkinan terjadinya suatu peristiwa
diantara seluruh peristiwa yang mungkin terjadi.
Probabilitas kemunculan suatu peristiwa atau
kejadian biasa disingkat dengan huruf p dan dinyatakan dalam persen atau
proporsi.
Ilustrasi :
Andai pelemparan satu uang logam dilakukan maka p
munculnya sisi muka gambar dan angka adalah sama yakni 1/2 atau 0,5 atau 50%.
Jika dadu yang dilempar maka prob. muncul dadu
dengan sisi titik 2 (misalnya) maka p adalah 1/6 atau 1:6 atau 0,1667 atau
16,67%
Kesimpulan : Prob. adalah frekuensi suatu kejadian.
Jika p. = 0,05 artinya suatu kejadian kemungkinan
muncul 5 kali diantara 100 kejadian; 10 kali diantara 200 kejadian; 50 kali
diantara 1000 kejadian dsb.
Jika uang logam dilempar sebanyak 100 kali maka p
sisi dengan gambar adalah : 50% x 100 kali = 50 kali.
Jadi Prob. adalah perbandingan frekuensi kejadian
dengan kejadian seluruhnya.
Ø HUBUNGAN PROBABILITAS DENGAN KURVE NORMAL
Kurve Normal adalah distribusi teoritik dari
frekuensi suatu kejadian ---à terutama dikembangkan hubungannya dengan prob. secara matematik (disebut
Kurve normal dari probabilitas).
Ciri Kurve Normal : makin besar deviasi kejadian
dari mean maka makin kecil frekuensi dam makin kecil pula probabilitasnya.
Ø HUBUNGAN PROBABILITAS TEORITIK DAN PROBABILITAS
EMPIRIS
Kemungkinan muncul atau tidak suatu kejadian
disebut : probabilitas kejadian.
Kemungkinan muncul disebut prob. sukses dan
kemungkinan tidak muncul disebut probab. Gagal.
Jika prob. sukses diberikan simbol P dan prob gagal
diberikan simbol Q maka: kemungkinan timbul antara P dan Q adalah sama yaitu : P=Q=1/2.
Karena prob. selalu dihitung dari seluruh kejadian
maka :
Prob sukses = P = 1 – Q dan Prob. gagal = Q = 1 –
P.
Menurut teori probabilitas jika mata uang logam
dilempar sebanyak 10 kali; maka prob.
keluar sisi gambar adalah 10 X 1/2 = 5 kali.
Secara empiris diakui bahwa jarang ditemui ketika
uang logam dilempar 10 kali maka prob. keluar sisi gambar atau sisi angka
adalah 5.
Jika terjadi maka hal tersebut bisa saja merupakan
faktor kebetulan.
Tetapi dalam kenyataan (empiris) perbandingan yang muncul antara
sisi gambar atau angka mungkin : 4:6; 7:3; 8:2; dsb.
Probabilitas yang diobservasi : observed
probability : biasanya dinyatakan dalam pecahan seperti; 0,1; 0,6; 0,7
dsb.dengan jumlah seluruh probabilitas sebesar 1,00.
Dalam kenyataan terbukti bahwa ketika eksperimen
dilakukan secara berulang-ulang maka ada kecenderungan bahwa prob. empiris akan
selalu mendekati prob. teoritis.
Konsep probabilitas seringkali dikaitkan dengan
hasil suatu eksperimen. Hasilnya juga memperlihatkan kondisi tidak pasti.
Contoh eksperimen :
-
Jika pelemparan uang logam
maka hasil yang mungkin adalah sisi gambar dan sisi angka
-
Jika interview terhadap
petani maka hasil yang diperoleh adalah
income
-
Jika pengamatan terhadap hasil
produksi maka hasil yang mungkin adalah produk yang bagus dan produk yang cacat
dsb.
-
Pengukuran waktu reaksi kimia
akan menghasilkan data tentang lama reaksi
Ø BEBERAPA DEFINISI YANG BERKAITAN DENGAN
PROBABILITAS
Ruang sampel: himpunan yang elemennya merupakan
hasil yang mungkin dari suatu ekperimen.
Titik sampel : elemen dari ruang sampel
Peristiwa: Himpunan bagian dri ruang sampel
Peristiwa sederhana : peristiwa yang hanya memuat 1
elemen saja
Peristiwa bersusun: Gabungan (union) dari beberapa
peristiwa sederhana
Contoh Soal :
1).Eksperiman : pelemparan sebuah dadu
Hasil: Mata dadu yang tampak diatas
Ruang sampel: S= {1,2,3,4,5,6}
Suatu Peristiwa: A = Titik ganjil yang tampak = {................}
2). Eksperiman: Pemilihan seorang mahasiswa secara
random dan pencatatan indeks prestasinya.
Hasil : Bilangan X antara 0 sampai dengan 4
Suatu peristiwa (A): Indeks prestasi diatas 3 =
.......................
Suatu peristiwa (B): Indeks prestasi dibawah 2 =
....................
3).Eksperimen: terdapat 4 pasien yang diberi obat
untuk waktu 2 minggu. Sukses atau tidaknya pengobatan untuk tiap pasien
dicatat.
Hasil : salah satu hasil yang diperoleh adalah
SSST, di mana S menunjukkan suksesnya pengobatan untuk pasien 1,2,3 dan T untuk
pasien yang tidak sukses yakni pasien ke 4.
Ruang sampelnya (S) =
...................................................
Suatu peristiwa (A) = lebih separuh dari pasien
sembuh = ........
Ø BEBERAPA PERISTIWA
Peristiwa baru dapat dibentuk dari peristiwa yang
sudah ada melalui 3 operasi dasar yaitu; (a). Union atau gabungan; (b).
Intersection atau irisan dan (c). Komplementasi.
Union 2 peristiwa A dan B ditulis A U B adalah
himpunan semua elemen yang berada di dalam himpunan A dan himpunan B (gabungan
elemen).
Intersection 2 peristiwa A dan B ditulis A n B
adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam A dan di dalam B.
Komplementasi suatu peristiwa A dan B di tulis
dengan A C adalah himpunan semua elemen
yang tidak ada di dalam himpunan A (relatif terhadap S).
Contoh Soal:
1. Sebuah kartu diambil secara random dari satu dek
kartu bridge. Dipandang peristiwa-peristiwa:
A = Kartu yang terambil adalah Ace
A = Kartu yang terambil adalah Ace
B= Kartu yang terambil adalah hati
C= Kartu yang terambil adalah berlian
D= Kartu yang terambil adalah merah
E= Kartu yang terambil adalah hitam
Tentukan :
a). B U C = ....................................
b). B n C = ....................................
c). A n C = ....................................
d). D komplemen : .........................
e). B U C U E = ..............................
2. Jika X menunjukkan indeks prestasi seorang
mahasiswa dan
A = { 3 < x ≤ 4}
B={ 0 ≤ X <
2 }
C={ 1,5 ≤ X
≤ 3 }
Maka :
a). A U C =
..........................................
b). A n C =
..........................................
c). B n C =
..........................................
d). A U B U C = .....................................
e). A komplemen adalah : ......................
PROBABILITAS DARI KEJADIAN MUTUALLY EXCLUSIVE (M.E) DAN
KEJADIAN NOT MUTUALLY EXCLUSIVE (N.M.E)
Kejadian saling meniadakan disebut mutually exclusive
atau disjoint.
Dua peristiwa A dan B yang tidakmemiliki elemen
berserikat.
Kejadian M. E. Juga disebut kejadian alternatif artinya
hanya diharapkan salah satu kejadian dari kemungkinan yang terjadi.
Untuk persitiwa saling asing berlaku rumus :
P ( AUB) = P(A) + P(B)
Sementara itu kejadian Not Mutually Exclusive adalah
peristiwa yang tidak saling asing.
Jika munculnya suatu kejadian tidak meniadakan atau
diikuti oleh munculnya kejadian lain artinya kejadian bisa muncul bersama-sama
maka kejadian tersebut disebut not mutually exclusive.
Untuk peristiwa tidak saling asing berlaku rumus :
P (AUB) = P(A) + P(B) – P (A n B)
ANALISIS KOMBINATORIK DALAM PROBABILITAS
Permutasi adalah penyusunan obyek sejumlah n yang tiap
kali diambil sejumlah r dengan memperhatikan tata urutan/ susunannya.
Rumus untuk
menentukan permutasi :
n!
nPr =
----------
(n – r)
!
Di mana n ! = (n)
(n-1) (n-2) dst
Kombinasi adalah seleksi
terhadap obyek sejumlah n yang tiap kali diambil sejumlah r tanpa memperhatikan
tata urutan/ susunannya.
Rumus untuk menentukan permutasi :
n!
nCr =
----------
r! (n –
r) !
Contoh soal:
1.Jika A kartu terambil adalah bergambar hati; B kartu
terambil bergambar berlian dan C kartu terambil bergambar ace maka :
a). P (AUB) = ............................
b). P (AUC) = ...........................
2. Bilaman peluang kelahiran anak perempuan sama dengan
peluang kelahiran anak laki-laki maka Pr
(laki-laki) = 0,5. Probabilitas anak dengan rambut lurus misalnya; Pr (lurus) =
0,1. Berapa besar peluang kelahiran anak laki-laku berambut lurus?
..................................
3.Jika sebuah kotak berisi 12 bola di mana 8 diantaranya
merah (ditandai dengan M1, M2, M3,.......M8) dan sisanya biru. Selanjutnya 3
bola diambil sekaligus.
- Berapa banyak hasil berbeda yang mungkin
- Berapa hasil yang mungkin dengan syarat 2 bola yang terambil biru dan
1 merah?
- Apabila pengambilan 3 bola dilakukan secara random hingga tiap
kumpulan 3 bola memiliki kemungkinan yang sama akan terpilih berpa
probabilitas akan diperoleh 2 bola biru dan 1 merah?
Tidak ada komentar:
Posting Komentar